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第5問

整数 N≥2N \ge 2 が与えられている。互いに身長が異なる N(N+1)N(N+1) 人のサッカー選手が一列に並んでいる。サー・アレックスは、この列から N(N−1)N(N-1) 人を取り除き、残った 2N2N 人からなる新しい列において、次の NN 個の条件がすべて成り立つようにしたい。最も背の高い二人の間には誰もいない、背が3番目と4番目に高い二人の間には誰もいない、…\ldots、最も背の低い二人の間には誰もいない。これが常に可能であることを示せ。
ステップ 4/7: 繰り返しの対を残し、残りを削除する
S←S∪{xq,xp},D←([1,p]∖{q,p})∪(Gk∖{xq,xp})S\gets S\cup\{x_q,x_p\},\quad D\gets\big([1,p]\setminus\{q,p\}\big)\cup\big(G_k\setminus\{x_q,x_p\}\big)
詳しい解説

xqx_q と xpx_p を生存集合 SS に入れ、次に初めの区間 x1,…,xpx_1,\ldots,x_p にいる他のすべての選手と、行の後の方に現れる GkG_k の残りの成員すべてを削除する。位置 qq と pp の間には厳密に誰も生き残らないので、xqx_q と xpx_p は生存者の中で物理的に隣接するようになり、GkG_k から取った対に求められる通りになる。