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第6問

整数の順序対 (x,y)(x,y) を、gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1 を満たすとき原始点と呼ぶ。原始点の有限集合 SS に対し、正の整数 nn と整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n が存在して、すべての (x,y)∈S(x,y)\in S について a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1 となることを証明せよ。
ステップ 2/8: まず反対点を処理する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

偶数次数の斉次多項式は反対点で同じ値をとる。

P(x,y)2P(x,y)^2
詳しい解説

帰納法の仮定により、既存の k-1 点上で1となる次数 n の整数係数斉次多項式 P(x,y)=ax+byP(x,y)=ax+by があるとする。新しい原始点を q=(xk,yk)q=(x_k,y_k) とする。もし古い点について q=−(xi,yi)q=-(x_i,y_i) なら、斉次性により P2P^2 は古い全点でも q=(xk,yk)q=(x_k,y_k) でも1となる。したがって、すべての古い点について di=yixk−xiykd_i=y_ix_k-x_iy_k は0でないとしてよい。