MathLabs

第6問

整数の順序対 (x,y)(x,y) を、gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1 を満たすとき原始点と呼ぶ。原始点の有限集合 SS に対し、正の整数 nn と整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n が存在して、すべての (x,y)∈S(x,y)\in S について a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1 となることを証明せよ。
ステップ 3/8: 行列式による補正を記録する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

行列式は古い点で消え、古い値を保つために使われる。

di=yixk−xiykd_i=y_ix_k-x_iy_k
詳しい解説

各古い点 (xi,yi)(x_i,y_i) に対して di=yixk−xiykd_i=y_ix_k-x_iy_k とおき、D=∏i=1k−1diD=\prod_{i=1}^{k-1}d_i とする。新しい原始点にベズーの補題を適用し、axk+byk=1ax_k+by_k=1 を満たす整数 a,b を選ぶ。古い全点で消え、新しい点で制御できる値をもつ補正項を加える。