MathLabs

第6問

整数の順序対 (x,y)(x,y) を、gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1 を満たすとき原始点と呼ぶ。原始点の有限集合 SS に対し、正の整数 nn と整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n が存在して、すべての (x,y)∈S(x,y)\in S について a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1 となることを証明せよ。
ステップ 5/8: 次数を合わせる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

オイラーの定理で行列式積に関して1となる冪を得る。

V=nU−(k−1)V=nU-(k-1)
詳しい解説

P(xk,yk)P(x_k,y_k) は D=∏i=1k−1diD=\prod_{i=1}^{k-1}d_i と互いに素なので、オイラーの定理が与える指数の倍数となる十分大きな正整数 UU を選び、P(xk,yk)U≡1(mod∣D∣)P(x_k,y_k)^U\equiv1\pmod{|D|} とする。必要なら nU≥k−1nU\ge k-1 となるようさらに大きくする。V=nU−(k−1)V=nU-(k-1) と定めれば V は非負整数である。