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第6問

整数の順序対 (x,y)(x,y) を、gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1 を満たすとき原始点と呼ぶ。原始点の有限集合 SS に対し、正の整数 nn と整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n が存在して、すべての (x,y)∈S(x,y)\in S について a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1 となることを証明せよ。
ステップ 6/8: 補正多項式を構成する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

第一項は古い値を保ち、積を含む補正項はそこで消える。

Q(x,y)=P(x,y)U+C(ax+by)V∏i=1k−1(yix−xiy)Q(x,y)=P(x,y)^U+C(ax+by)^V\prod_{i=1}^{k-1}(y_ix-x_iy)
詳しい解説

P(xk,yk)U≡1(mod∣D∣)P(x_k,y_k)^U\equiv1\pmod{|D|} なので C=(1−P(xk,yk)U)/DC=(1-P(x_k,y_k)^U)/D は整数である。Q(x,y)=P(x,y)U+C(ax+by)V∏i=1k−1(yix−xiy)Q(x,y)=P(x,y)^U+C(ax+by)^V\prod_{i=1}^{k-1}(y_ix-x_iy) と定める。二つの項はともに次数 nU の斉次式だから、Q は整数係数で正の次数をもつ。