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第6問

整数の順序対 (x,y)(x,y) を、gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1 を満たすとき原始点と呼ぶ。原始点の有限集合 SS に対し、正の整数 nn と整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n が存在して、すべての (x,y)∈S(x,y)\in S について a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1 となることを証明せよ。
ステップ 7/8: 古い点を検算する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

各古い点では行列式積が0になる。

Q(xi,yi)=1Q(x_i,y_i)=1
詳しい解説

古い点 (xi,yi)(x_i,y_i) では対応する因子 yix−xiyy_ix-x_iy が消える。P(x,y)=ax+byP(x,y)=ax+by の値はそこで1なので、Q(x,y)=P(x,y)U+C(ax+by)V∏i=1k−1(yix−xiy)Q(x,y)=P(x,y)^U+C(ax+by)^V\prod_{i=1}^{k-1}(y_ix-x_iy) の第一項は1、補正項は0となる。したがって Q(xi,yi)=1Q(x_i,y_i)=1。