MathLabs

第6問

整数の順序対 (x,y)(x,y) を、gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1 を満たすとき原始点と呼ぶ。原始点の有限集合 SS に対し、正の整数 nn と整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n が存在して、すべての (x,y)∈S(x,y)\in S について a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1 となることを証明せよ。
ステップ 8/8: 新しい点を検算して完了する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ベズーにより新しい点で線形因子は1となり、選んだ係数が残りの値を補正する。

Q(xk,yk)=P(xk,yk)U+CD=1Q(x_k,y_k)=P(x_k,y_k)^U+CD=1
詳しい解説

q=(xk,yk)q=(x_k,y_k) では axk+byk=1ax_k+by_k=1 により線形形式が1で、行列式積は D=∏i=1k−1diD=\prod_{i=1}^{k-1}d_i である。したがって C の定義から Q(xk,yk)=P(xk,yk)U+CD=1Q(x_k,y_k)=P(x_k,y_k)^U+CD=1。前ステップと合わせて Q(x,y)=1 on SQ(x,y)=1\text{ on }S。これで帰納法が完了し、主張が証明された。