MathLabs

第2問

an+1=a1a_{n+1}=a_1、an+2=a2a_{n+2}=a_2 を満たし、かつ i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n に対して aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2} を満たす実数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n が存在するような整数 n≥3n \ge 3 をすべて求めよ。
ステップ 1/7: 答えと極値構成
前のステップ次のステップ
3∣n,a3j+1=a3j+2=−1, a3j+3=23\mid n,\qquad a_{3j+1}=a_{3j+2}=-1,\ a_{3j+3}=2
詳しい解説

主張は、そのような実数が存在するのはちょうど 3∣n3\mid n のときであるというものである。n=3kn=3k のとき、ブロック (−1,−1,2)(-1,-1,2) を合計 kk 回繰り返す——すなわち j=0,1,…,k−1j=0,1,\ldots,k-1 について a3j+1=a3j+2=−1a_{3j+1}=a_{3j+2}=-1、a3j+3=2a_{3j+3}=2 とする——と有効な数列が得られる：巡回的に連続する任意の三項は (−1,−1,2)(-1,-1,2) の回転であり、(−1)(−1)+1=2(-1)(-1)+1=2、(−1)(2)+1=−1(-1)(2)+1=-1、(2)(−1)+1=−1(2)(-1)+1=-1 より、すべての i=1,…,ni=1,\ldots,n について aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2} が成り立つ。あとは他の n≥3n\ge 3 が条件を満たさないことを示せばよい。