第2問

$a_{i+n}=a_i$ によって $(a_i)$ をすべての整数 $i$ に拡張する。これは $a_{n+1}=a_1$ と $a_{n+2}=a_2$ に整合しており、このとき $a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}$ がすべての整数 $i$ について成り立つ。この関係式に $a_{i+2}$ を掛けると $a_ia_{i+1}a_{i+2}=a_{i+2}^2-a_{i+2}$ となり、添字をずらした関係式 $a_{i+1}a_{i+2}+1=a_{i+3}$ に $a_i$ を掛けても同じ積 $a_ia_{i+1}a_{i+2}=a_ia_{i+3}-a_i$ が得られる。二つの式を等置すると、すべての整数 $i$ について $a_{i+2}^2-a_{i+2}=a_ia_{i+3}-a_i$ が成り立つ。