第2問

a_{n+1}=a_1

、

a_{n+2}=a_2

を満たし、かつ

i=1,2,\ldots,n

に対して

a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}

を満たす実数

a_1, a_2, \ldots, a_n

が存在するような整数

n \ge 3

をすべて求めよ。

ステップ 3/7: 恒等式を巡回的に総和する

前のステップ次のステップ

\sum_{i=1}^n a_i^2=\sum_{i=1}^n a_ia_{i+3}

詳しい解説

ステップ2の恒等式を $i=1,\ldots,n$ にわたって総和する。拡張が周期 $n$ を持つため、添字 $i+2$ は $i$ と同じ $n$ 個の値を巡るので、 $\sum_{i=1}^n a_{i+2}^2=\sum_{i=1}^n a_i^2$ および $\sum_{i=1}^n a_{i+2}=\sum_{i=1}^n a_i$ が成り立つ。したがって総和した恒等式の左辺の一次項 $-a_{i+2}$ と右辺の $-a_i$ が打ち消し合い、 $\sum_{i=1}^n a_i^2=\sum_{i=1}^n a_ia_{i+3}$ が残る。