拡張が周期 nnn を持つので、∑i=1nai+32=∑i=1nai2\sum_{i=1}^n a_{i+3}^2=\sum_{i=1}^n a_i^2∑i=1nai+32=∑i=1nai2 も成り立つ。(ai−ai+3)2=ai2−2aiai+3+ai+32(a_i-a_{i+3})^2=a_i^2-2a_ia_{i+3}+a_{i+3}^2(ai−ai+3)2=ai2−2aiai+3+ai+32 を展開して i=1,…,ni=1,\ldots,ni=1,…,n について総和すると、ステップ3の恒等式より ∑i=1n(ai−ai+3)2=2∑i=1nai2−2∑i=1naiai+3=0\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i+3})^2=2\sum_{i=1}^n a_i^2-2\sum_{i=1}^n a_ia_{i+3}=0∑i=1n(ai−ai+3)2=2∑i=1nai2−2∑i=1naiai+3=0 が得られる。実数の平方の有限和が消えるのはすべての項が消える場合に限るので、ai=ai+3a_i=a_{i+3}ai=ai+3 がすべての i=1,…,ni=1,\ldots,ni=1,…,n（添字は nnn を法とする）について成り立つ。