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第2問

an+1=a1a_{n+1}=a_1、an+2=a2a_{n+2}=a_2 を満たし、かつ i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n に対して aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2} を満たす実数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n が存在するような整数 n≥3n \ge 3 をすべて求めよ。
ステップ 5/7: 3∤n3\nmid n ならば数列は定数である
前のステップ次のステップ
gcd⁡(n,3)=1 ⟹ a1=a2=⋯=an\gcd(n,3)=1\ \Longrightarrow\ a_1=a_2=\cdots=a_n
詳しい解説

ai=ai+3a_i=a_{i+3} がすべての ii について成り立つことは、aia_i が ii を gcd⁡(n,3)\gcd(n,3) で割った余りのみに依存することを意味する。なぜなら、添字を 33 ずつ nn を法として繰り返しずらすと、gcd⁡(n,3)\gcd(n,3) を法とする剰余類をちょうど一巡してから自分自身に戻るからである。gcd⁡(n,3)∈{1,3}\gcd(n,3)\in\{1,3\} なので、3∤n3\nmid n の場合は gcd⁡(n,3)=1\gcd(n,3)=1 となり、すべての添字が一つの剰余類に属し a1=a2=⋯=ana_1=a_2=\cdots=a_n となる。