MathLabs

第2問

an+1=a1a_{n+1}=a_1、an+2=a2a_{n+2}=a_2 を満たし、かつ i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n に対して aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2} を満たす実数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n が存在するような整数 n≥3n \ge 3 をすべて求めよ。
ステップ 6/7: 定数数列は不可能である
前のステップ次のステップ
a1=a2=⋯=an=c ⟹ c2−c+1=0, Δ=−3<0a_1=a_2=\cdots=a_n=c\ \Longrightarrow\ c^2-c+1=0,\ \Delta=-3<0
詳しい解説

a1=a2=⋯=an=ca_1=a_2=\cdots=a_n=c とすると、関係式 a1a2+1=a3a_1a_2+1=a_3 は c2+1=cc^2+1=c、すなわち c2−c+1=0c^2-c+1=0 となる。この二次式の判別式は Δ=1−4=−3<0\Delta=1-4=-3<0 であるから、実数解 cc を持たず、矛盾する。したがって 3∤n3\nmid n はあり得ない。