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第3問

anti-Pascal 三角形とは、最下段の数を除き、各数がその真下にある二つの数の差の絶対値であるような正三角形状の数の配列である。次は 1 から 10 までのすべての整数を含む 4 段の anti-Pascal 三角形である。 42657183109\begin{array}{ccccccccccc} &&&&4&&&&\\ &&&2&&6&&&\\ &5&&7&&1&&&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} 1 から 1+2+⋯+20181+2+\cdots+2018 までのすべての整数を含む 2018 段の anti-Pascal 三角形は存在するか。
ステップ 3/6: 頂点からの道を極限にする
前のステップ次のステップ
A=p1→p2→⋯→pn=B,B−A=∑i=1n−1qi,A+∑i=1n−1qi≥1+2+⋯+n=NA=p_1\to p_2\to\cdots\to p_n=B,\qquad B-A=\sum_{i=1}^{n-1}q_i,\qquad A+\sum_{i=1}^{n-1}q_i\ge 1+2+\cdots+n=N
詳しい解説

頂点の数 A から最下段の数 B まで矢印をたどる。i 段目で pi+1p_{i+1} に隣接するもう一方の数を qiq_i とする。A とすべての qiq_i からなる n 個の数は三角形内の相異なる正の数なので、その和は n 個の最小の正整数の和以上である。道の関係式はこの和がちょうど B であることを示す。どの数も N を超えないから等号が必要であり、B=N、そして A と qiq_i はちょうど 1 から n までの数である。