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第3問

anti-Pascal 三角形とは、最下段の数を除き、各数がその真下にある二つの数の差の絶対値であるような正三角形状の数の配列である。次は 1 から 10 までのすべての整数を含む 4 段の anti-Pascal 三角形である。 42657183109\begin{array}{ccccccccccc} &&&&4&&&&\\ &&&2&&6&&&\\ &5&&7&&1&&&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} 1 から 1+2+⋯+20181+2+\cdots+2018 までのすべての整数を含む 2018 段の anti-Pascal 三角形は存在するか。
ステップ 6/6: 最大値を超える
D>C+∑j=1mrj≥∑j=11008(2018+j)=2 543 688>ND>C+\sum_{j=1}^{m}r_j\ge\sum_{j=1}^{1008}(2018+j)=2\,543\,688>N
詳しい解説

C から D への道の各段では、隣接する正の増分が加わる。したがって D の値は、これらの増分に対する上記の下限の総和より大きい。n が 2018 のとき、その総和は 2,543,6882,543,688 であり、N は 2,037,1712,037,171 である。ゆえに D は N より大きくなるが、N は三角形の最大の数なので不可能である。仮定した anti-Pascal 三角形は存在しない。