MathLabs

第5問

a1,a2,…a_1,a_2,\ldots を正の整数からなる無限列とする。ある整数 N>1N>1 が存在し、すべての n≥Nn\ge N について、数 a1a2+a2a3+⋯+an−1an+ana1\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} が整数であるとする。ある正整数 MM が存在して、すべての m≥Mm\ge M で am=am+1a_m=a_{m+1} となることを証明せよ。
ステップ 1/8: 隣り合う差をとる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

長い巡回和は三つの項だけが異なる。

Sn=∑i=1n−1aiai+1+ana1S_n=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{a_{i+1}}+\frac{a_n}{a_1}
詳しい解説

n>Nn>N では SnS_n と Sn+1S_{n+1} はともに整数である。その差は Tn=Sn+1−Sn=an+1a1−ana1+anan+1T_n=S_{n+1}-S_n=\frac{a_{n+1}}{a_1}-\frac{a_n}{a_1}+\frac{a_n}{a_{n+1}} だから、Tn∈ZT_n\in\mathbb Z である。