MathLabs

第5問

a1,a2,…a_1,a_2,\ldots を正の整数からなる無限列とする。ある整数 N>1N>1 が存在し、すべての n≥Nn\ge N について、数 a1a2+a2a3+⋯+an−1an+ana1\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} が整数であるとする。ある正整数 MM が存在して、すべての m≥Mm\ge M で am=am+1a_m=a_{m+1} となることを証明せよ。
ステップ 2/8: 素数を固定して付値を使う
前のステップ次のステップ
vp(x)=the exponent of p in xv_p(x)=\text{the exponent of }p\text{ in }x
詳しい解説

素数 pp を固定し v=vpv=v_p と書く。整数の vv 付値は非負であり、ちょうど一項だけが負の付値をもつ有理数の和は整数になれない（和の付値も負である）。