第5問

a_1,a_2,\ldots

を正の整数からなる無限列とする。ある整数

N>1

が存在し、すべての

n\ge N

について、数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

が整数であるとする。ある正整数

M

が存在して、すべての

m\ge M

で

a_m=a_{m+1}

となることを証明せよ。

ステップ 3/8:

a_1

を割らない素数では減少する

前のステップ次のステップ

p\nmid a_1\Longrightarrow v_p(a_{n+1})\le v_p(a_n)

詳しい解説

$p\nmid a_1$ ならば $v(\frac{a_{n+1}}{a_1})\ge0$ および $v(\frac{a_n}{a_1})\ge0$ である。 $T_n$ は整数なので最後の項も $v(\frac{a_n}{a_{n+1}})\ge0$ を満たす。従って $n>N$ で常に $v_p(a_{n+1})\le v_p(a_n)$ となる。