第5問

a_1,a_2,\ldots

を正の整数からなる無限列とする。ある整数

N>1

が存在し、すべての

n\ge N

について、数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

が整数であるとする。ある正整数

M

が存在して、すべての

m\ge M

で

a_m=a_{m+1}

となることを証明せよ。

ステップ 4/8: 付値が

v_p(a_1)

に達すれば降下する

前のステップ次のステップ

v_p(a_k)\ge c=v_p(a_1)\Longrightarrow c\le v_p(a_{n+1})\le v_p(a_n)\quad(n\ge k)

詳しい解説

$p\mid a_1$ とし $c=v_p(a_1)>0$ とおく。ある $k>N$ で $v_p(a_k)\ge c$ なら、帰納法により以後 $v_p(a_n)\ge c$ かつ $v_p(a_{n+1})\le v_p(a_n)$ である。次の付値が $c$ 未満なら $T_n$ の第一項と第三項の付値は異なる（等しいと仮定すると $v_p(a_n)<c$ になり矛盾する）ので負の付値が一つだけ残る。また現在の付値より大きければ第三項だけが負になる。従って整数値の付値列は最終的に一定である。