第5問

a_1,a_2,\ldots

を正の整数からなる無限列とする。ある整数

N>1

が存在し、すべての

n\ge N

について、数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

が整数であるとする。ある正整数

M

が存在して、すべての

m\ge M

で

a_m=a_{m+1}

となることを証明せよ。

ステップ 5/8:

c

に達しなければ上昇する

前のステップ次のステップ

v_p(a_n)<c\ \forall n>N\Longrightarrow v_p(a_{n+1})\ge v_p(a_n)

詳しい解説

残りの場合、 $x=v_p(a_n)<c$ 、 $y=v_p(a_{n+1})<c$ とおく。 $T_n$ の第一・第二項の付値はそれぞれ $y-c$ と $x-c$ で、ともに負である。第三項との和が整数になるには最小付値が二度現れなければならない。第一・第二項が等しければ $x=y$ 、第一・第三項が等しければ $2y=x+c$ で $y>x$ 、第二・第三項が等しければ $y=c$ で矛盾する。従って $y\ge x$ であり、付値は $c$ 以下なので安定する。