第5問

a_1,a_2,\ldots

を正の整数からなる無限列とする。ある整数

N>1

が存在し、すべての

n\ge N

について、数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

が整数であるとする。ある正整数

M

が存在して、すべての

m\ge M

で

a_m=a_{m+1}

となることを証明せよ。

ステップ 6/8:

a_1

の各素因子の付値は安定する

p\mid a_1\Longrightarrow v_p(a_n)\text{ is eventually constant}

詳しい解説

前二つの場合はすべての $p\mid a_1$ を覆う。従って各素数について $v_p(a_n)$ は最終的に一定である。 $a_1$ の素因子は有限個なので、ある共通の添字以後はこれらすべての付値が一定となる。