MathLabs

第5問

a1,a2,…a_1,a_2,\ldots を正の整数からなる無限列とする。ある整数 N>1N>1 が存在し、すべての n≥Nn\ge N について、数 a1a2+a2a3+⋯+an−1an+ana1\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} が整数であるとする。ある正整数 MM が存在して、すべての m≥Mm\ge M で am=am+1a_m=a_{m+1} となることを証明せよ。
ステップ 7/8: 末尾は整除の連鎖になる
前のステップ次のステップ
an+1∣anfor all sufficiently large na_{n+1}\mid a_n\quad\text{for all sufficiently large }n
詳しい解説

p∤a1p\nmid a_1 ではステップ3より vp(an+1)≤vp(an)v_p(a_{n+1})\le v_p(a_n)、p∣a1p\mid a_1 ではステップ6より共通の時点以後付値が等しい。従って十分大きい nn では an+1a_{n+1} のすべての素因子の指数は ana_n 以下であり、an+1∣ana_{n+1}\mid a_n である。