MathLabs

第5問

a1,a2,…a_1,a_2,\ldots を正の整数からなる無限列とする。ある整数 N>1N>1 が存在し、すべての n≥Nn\ge N について、数 a1a2+a2a3+⋯+an−1an+ana1\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} が整数であるとする。ある正整数 MM が存在して、すべての m≥Mm\ge M で am=am+1a_m=a_{m+1} となることを証明せよ。
ステップ 8/8: 正整数の降下連鎖は安定する
前のステップ次のステップ
an+1∣an and an∣an0⟹an is eventually constanta_{n+1}\mid a_n\text{ and }a_n\mid a_{n_0}\Longrightarrow a_n\text{ is eventually constant}
詳しい解説

共通の安定時点より後の n0n_0 を選ぶ。するとすべての n≥n0n\ge n_0 で an∣an0a_n\mid a_{n_0} となる。an0a_{n_0} の正の約数は有限個で、しかも an+1∣ana_{n+1}\mid a_n だから、この連鎖は有限回しか変化できない。従って十分大きい nn で an=an+1a_n=a_{n+1} となる。