MathLabs

第6問

凸四角形 ABCDABCD が AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA を満たしている。点 XX は ABCDABCD の内部にあり、∠XAB=∠XCD\angle XAB=\angle XCD および ∠XBC=∠XDA\angle XBC=\angle XDA を満たす。∠BXA+∠DXC=180∘\angle BXA+\angle DXC=180^\circ を証明せよ。
ステップ 2/8: 一意性補題を証明する
前のステップ次のステップ
fixed angles+AB⋅CD=BC⋅DA⟹unique up to similarity\text{fixed angles}+AB\cdot CD=BC\cdot DA\Longrightarrow\text{unique up to similarity}
詳しい解説

完全性のため、AB=1AB=1 と正規化し A,BA,B を固定直線上に置く。与えられた四角の角は残り二辺の方向を定め、長さを DA=tDA=t および BC=sBC=s とする。対角線で分けた二つの三角形に正弦定理を適用すると、残りの角ごとに一つの方程式を得る。対角線を消去すると t/st/s に関する狭義単調な方程式になる。辺の条件は CD/AB=(BC/DA)=s/tCD/AB=(BC/DA)=s/t なので正の比を一つだけ定め、続いて尺度も定める。従って同じ四角の角をもつ二つの凸な準調和四角形は相似である。これは公式の反転解で使われる初等的な一意性補題である。