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第6問

凸四角形 ABCDABCD が AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA を満たしている。点 XX は ABCDABCD の内部にあり、∠XAB=∠XCD\angle XAB=\angle XCD および ∠XBC=∠XDA\angle XBC=\angle XDA を満たす。∠BXA+∠DXC=180∘\angle BXA+\angle DXC=180^\circ を証明せよ。
ステップ 3/8: XX を中心に四角形を反転する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

反転は各距離を両端点の因子で変えるが、積の条件ではその因子が相殺する。

P′Q′=r2 PQXP⋅XQP'Q'=\frac{r^2\,PQ}{XP\cdot XQ}
詳しい解説

XX を中心とする半径 rr の反転で A,B,C,DA,B,C,D の像を A′,B′,C′,D′A',B',C',D' とする。距離公式は P′Q′=r2 PQXP⋅XQP'Q'=\frac{r^2\,PQ}{XP\cdot XQ} である。従って A′B′⋅C′D′=B′C′⋅D′A′A'B'\cdot C'D'=B'C'\cdot D'A' となる。実際、両辺はともに r4AB⋅CDXA XB XC XD\frac{r^4 AB\cdot CD}{XA\,XB\,XC\,XD} に等しい。反転像も準調和である。