MathLabs

第6問

凸四角形 ABCDABCD が AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA を満たしている。点 XX は ABCDABCD の内部にあり、∠XAB=∠XCD\angle XAB=\angle XCD および ∠XBC=∠XDA\angle XBC=\angle XDA を満たす。∠BXA+∠DXC=180∘\angle BXA+\angle DXC=180^\circ を証明せよ。
ステップ 7/8: 四角形の等角条件を適用する
前のステップ次のステップ
Y isogonal to X⟺∠BXA+∠DXC=180∘Y\text{ isogonal to }X\Longleftrightarrow\angle BXA+\angle DXC=180^\circ
詳しい解説

凸四角形内部の二点 X,YX,Y について、各頂点の角の二等分線に関して四本の頂点光線を反射すると、標準条件 Y isogonal to X⟺∠BXA+∠DXC=180∘Y\text{ isogonal to }X\Longleftrightarrow\angle BXA+\angle DXC=180^\circ を得る。一方向は反射後の四つの有向角を加えれば従い、逆方向は A,B,C,DA,B,C,D で順に反射すれば従う。ステップ6でこの等角共役点 YY が得られたので、条件から求める等式が従う。