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第1問

Z\mathbb{Z} を整数全体の集合とする。すべての整数 aa、bb に対して f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)). を満たす関数 f ⁣:Z→Zf\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} をすべて求めよ。
ステップ 3/7: 加法性を導く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

倍加の等式を P の別の組に代入すると、外側の f が消えて、単純な加法的な関係だけが残る。

f(a)+f(b)−f(0)=f(a+b)for all a,b∈Zf(a)+f(b)-f(0)=f(a+b)\quad\text{for all }a,b\in\mathbb{Z}
詳しい解説

P(a, b) と P(0, a+b) を比較すると、どちらも f(f(a+b)) に等しい。前者は f(2a) + 2f(b) を与え、後者は f(0) + 2f(a+b) を与える。前段の等式を使って f(2a) を置き換えて整理すると、f(a) + f(b) から f(0) を引いたものが f(a+b) に等しいことが、すべての整数 a、b に対して分かる。