第1問

\mathbb{Z}

を整数全体の集合とする。すべての整数

a

、

b

に対して

f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).

を満たす関数

f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}

をすべて求めよ。

ステップ 4/7: 整数上の加法的方程式を解く

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

整数上で加法的な関数は、1 における値だけで完全に決まる。

g(x):=f(x)-f(0)\ \Longrightarrow\ g(n)=n\,g(1)\ \Longrightarrow\ f(x)=kx+c,\ k=g(1),\ c=f(0)

詳しい解説

g(x) = f(x) - f(0) と定める。前段より、すべての整数 a、b に対して g(a+b) = g(a) + g(b) が成り立つ。a = b = 0 とすると g(0) = 0 が得られ、g(n+1) = g(n) + g(1) と g(-n) = -g(n) を用いて n について帰納法を行うと、すべての整数 n に対して g(n) は n 倍の g(1) に等しいことが分かる。したがって、すべての整数 x に対して f(x) は k 倍の x に f(0) を加えたものに等しく、ここで k は g(1) を表す。すなわち、f は x に関するアフィン関数でなければならない。