第1問

\mathbb{Z}

を整数全体の集合とする。すべての整数

a

、

b

に対して

f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).

を満たす関数

f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}

をすべて求めよ。

ステップ 5/7: アフィンな形を方程式に代入し直す

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

これまでは二つの特別な代入しか使っていない。方程式全体をなお満たさなければならず、それが k と c にさらなる制約を与える。

f(2a)+2f(b)=2k(a+b)+3c,\quad f(f(a+b))=k^2(a+b)+kc+c\ \Longrightarrow\ 2k=k^2,\ \ 2c=kc

詳しい解説

f(x) = kx + c と書く。これを元の方程式に代入すると、左辺 f(2a) + 2f(b) は 2k(a+b) + 3c に等しく、右辺 f(f(a+b)) は k の二乗掛ける (a+b) に kc と c を加えたものに等しい。この等式はすべての整数 a、b について成り立たなければならないので、(a+b) の係数どうし、および定数項どうしが一致しなければならず、2k は k の二乗に等しい、そして 3c は kc と c の和に等しい、という二つの条件が得られる。