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第1問

Z\mathbb{Z} を整数全体の集合とする。すべての整数 aa、bb に対して f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)). を満たす関数 f ⁣:Z→Zf\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} をすべて求めよ。
ステップ 6/7: k と c を求める
ざっくり言うと

k に関する条件は因数分解でき、問題をちょうど二つの場合に分ける。それぞれの場合で c が固定されるか自由になるかが決まる。

k(k−2)=0 ⟹ (k=0, c=0)  or  (k=2, c∈Z free)k(k-2)=0\ \Longrightarrow\ (k=0,\ c=0)\ \text{ or }\ (k=2,\ c\in\mathbb{Z}\text{ free})
詳しい解説

2k が k の二乗に等しいことから、k 掛ける (k − 2) が 0 に等しく、したがって k は 0 または 2 である。k = 0 のとき、2c は kc に等しいという条件は 2c = 0 となり、c = 0 が強制される。k = 2 のとき、この条件は 2c = 2c となり、すべての整数 c に対して成り立つので、この場合 c に制約はない。