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第2問

三角形 ABCABC において、点 A1A_1 は辺 BCBC 上にあり、点 B1B_1 は辺 ACAC 上にある。PP と QQ をそれぞれ線分 AA1AA_1 と BB1BB_1 上の点で、PQPQ が ABAB に平行となるように取る。直線 PB1PB_1 上に点 P1P_1 を取り、B1B_1 が PP と P1P_1 の間に厳密にあり、かつ ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC となるようにする。同様に、直線 QA1QA_1 上に点 Q1Q_1 を取り、A1A_1 が QQ と Q1Q_1 の間に厳密にあり、かつ ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA となるようにする。点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 が同一円周上にあることを証明せよ。
ステップ 2/6: 主円を作る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

平行な線分により Ω の円周角を移すことができ、P と Q を通る円が得られる。

PQ∥AB⟹P,Q,A2,B2 are concyclic;ω=(PQA2B2)PQ\parallel AB\Longrightarrow P,Q,A_2,B_2\text{ are concyclic};\qquad \omega=(PQA_2B_2)
詳しい解説

P は AA_2 上、Q は BB_2 上にあり、PQ は AB に平行である。したがって、円に内接する四辺形 ABA_2B_2 に有向角の形のライムの定理を適用すれば、P,Q,A_2,B_2 は同一円周上にある。この円を ω と呼ぶ。同じことは、PQ を AB に、PA_2 と QB_2 を AA_2 と BB_2 に置き換え、Ω 上の等しい円周角を使って共円条件を直接確認しても分かる。