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第2問

三角形 ABCABC において、点 A1A_1 は辺 BCBC 上にあり、点 B1B_1 は辺 ACAC 上にある。PP と QQ をそれぞれ線分 AA1AA_1 と BB1BB_1 上の点で、PQPQ が ABAB に平行となるように取る。直線 PB1PB_1 上に点 P1P_1 を取り、B1B_1 が PP と P1P_1 の間に厳密にあり、かつ ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC となるようにする。同様に、直線 QA1QA_1 上に点 Q1Q_1 を取り、A1A_1 が QQ と Q1Q_1 の間に厳密にあり、かつ ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA となるようにする。点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 が同一円周上にあることを証明せよ。
ステップ 3/6: 最初の補助円を構成する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

Q_1 で与えられた角が A_2 の円周角に一致するので、両点から弦 CA_1 が同じ角度に見える。

∠CQ1A1=∠CQ1Q=∠CBA=∠CA2A=∠CA2A1⟹C,A1,A2,Q1 are concyclic\angle CQ_1A_1=\angle CQ_1Q=\angle CBA=\angle CA_2A=\angle CA_2A_1\Longrightarrow C,A_1,A_2,Q_1\text{ are concyclic}
詳しい解説

A_1 は Q と Q_1 の間にあるので、半直線 Q_1A_1 と Q_1Q は一致し、角 CQ_1A_1 は角 CQ_1Q に等しい。仮定によりこれは角 CBA に等しい。A,B,C,A_2 は Ω 上にあるので、角 CBA は角 CA_2A に等しく、さらに A,A_1,A_2 は A_2 から同じ向きの一直線上にあるため、これは角 CA_2A_1 に等しい。したがって C,A_1,A_2,Q_1 は同一円周上にある。