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第2問

三角形 ABCABC において、点 A1A_1 は辺 BCBC 上にあり、点 B1B_1 は辺 ACAC 上にある。PP と QQ をそれぞれ線分 AA1AA_1 と BB1BB_1 上の点で、PQPQ が ABAB に平行となるように取る。直線 PB1PB_1 上に点 P1P_1 を取り、B1B_1 が PP と P1P_1 の間に厳密にあり、かつ ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC となるようにする。同様に、直線 QA1QA_1 上に点 Q1Q_1 を取り、A1A_1 が QQ と Q1Q_1 の間に厳密にあり、かつ ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA となるようにする。点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 が同一円周上にあることを証明せよ。
ステップ 4/6: Q_1 を主円上に置く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

補助円から Ω を経て P まで等角を追うことで、ω に対する同じ共円条件が得られる。

∠QQ1A2=∠A1Q1A2=∠A1CA2=∠BCA2=∠BAA2=∠QPA2⟹P,Q,A2,Q1 are concyclic\angle QQ_1A_2=\angle A_1Q_1A_2=\angle A_1CA_2=\angle BCA_2=\angle BAA_2=\angle QPA_2\Longrightarrow P,Q,A_2,Q_1\text{ are concyclic}
詳しい解説

Q,A_1,Q_1 は一直線上にあるので、角 QQ_1A_2 は角 A_1Q_1A_2 に等しい。円 C,A_1,A_2,Q_1 上で、この角は角 A_1CA_2 に等しい。C,A_1,B は一直線上なのでこれは角 BCA_2 に等しく、さらに A,B,C,A_2 が Ω 上にあるので角 BAA_2 に等しい。最後に AB は PQ に平行で、A,A_2,P は一直線上にあるから、角 BAA_2 は角 QPA_2 に等しい。したがって P,Q,A_2,Q_1 は同一円周上にあり、Q_1 は ω 上にある。