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第2問

三角形 ABCABC において、点 A1A_1 は辺 BCBC 上にあり、点 B1B_1 は辺 ACAC 上にある。PP と QQ をそれぞれ線分 AA1AA_1 と BB1BB_1 上の点で、PQPQ が ABAB に平行となるように取る。直線 PB1PB_1 上に点 P1P_1 を取り、B1B_1 が PP と P1P_1 の間に厳密にあり、かつ ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC となるようにする。同様に、直線 QA1QA_1 上に点 Q1Q_1 を取り、A1A_1 が QQ と Q1Q_1 の間に厳密にあり、かつ ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA となるようにする。点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 が同一円周上にあることを証明せよ。
ステップ 5/6: 対称な議論を P_1 に適用する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

A と B の役割を交換しても構成全体は保たれ、Q_1 と P_1 が入れ替わる。

A↔B,A1↔B1,A2↔B2,P↔Q,P1↔Q1⟹P,Q,B2,P1 are concyclicA\leftrightarrow B,\quad A_1\leftrightarrow B_1,\quad A_2\leftrightarrow B_2,\quad P\leftrightarrow Q,\quad P_1\leftrightarrow Q_1\Longrightarrow P,Q,B_2,P_1\text{ are concyclic}
詳しい解説

A と B、A_1 と B_1、A_2 と B_2、P と Q、P_1 と Q_1 を同時に交換して、直前の二段階の角追いを適用する。仮定の角 PP_1C = BAC は交換後の対応する角条件になる。したがって同じ議論により P,Q,B_2,P_1 は同一円周上にある。P,Q,B_2 はすでに ω 上にあるので、P_1 も ω 上にある。