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第2問

三角形 ABCABC において、点 A1A_1 は辺 BCBC 上にあり、点 B1B_1 は辺 ACAC 上にある。PP と QQ をそれぞれ線分 AA1AA_1 と BB1BB_1 上の点で、PQPQ が ABAB に平行となるように取る。直線 PB1PB_1 上に点 P1P_1 を取り、B1B_1 が PP と P1P_1 の間に厳密にあり、かつ ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC となるようにする。同様に、直線 QA1QA_1 上に点 Q1Q_1 を取り、A1A_1 が QQ と Q1Q_1 の間に厳密にあり、かつ ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA となるようにする。点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 が同一円周上にあることを証明せよ。
ステップ 6/6: 証明を結論する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

新しく導入した二点も、すでに P と Q を含む円周上にあることが分かった。

P,Q,P1,Q1∈ω⟹P,Q,P1,Q1 are concyclicP,Q,P_1,Q_1\in\omega\Longrightarrow P,Q,P_1,Q_1\text{ are concyclic}
詳しい解説

構成により円 ω は P と Q を含み、最初の角追いにより Q_1 を含み、対称な角追いにより P_1 も含む。したがって P,Q,P_1,Q_1 の4点はすべて一つの円周上にあり、求める結論が得られる。