MathLabs

第4問

k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)⋯(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). を満たす正の整数の組 (k,n)(k,n) をすべて求めよ。
ステップ 1/6: 積に名前を付け、最初の解を記録する
前のステップ次のステップ
Ln=∏i=0n−1(2n−2i),L1=1=1!,L2=6=3!L_n=\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i),\qquad L_1=1=1!,\qquad L_2=6=3!
詳しい解説

Ln=∏i=0n−1(2n−2i)L_n=\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i) と置く。直接計算により L1=1=1!L_1=1=1! および L2=6=3!L_2=6=3! なので、(k,n)=(1,1)(k,n)=(1,1) と (k,n)=(3,2)(k,n)=(3,2) は解である。他の正の整数の組がないことを示す。