MathLabs

第4問

k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)⋯(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). を満たす正の整数の組 (k,n)(k,n) をすべて求めよ。
ステップ 2/6: 積の 2 進付値を計算する
前のステップ次のステップ
Ln=20+1+⋯+(n−1)∏i=0n−1(2n−i−1),v2(Ln)=n(n−1)2L_n=2^{0+1+\cdots+(n-1)}\prod_{i=0}^{n-1}(2^{n-i}-1),\qquad v_2(L_n)=\frac{n(n-1)}2
詳しい解説

第 ii 番目の因子から 2i2^i をくくり出すと、2n−2i=2i(2n−i−1)2^n-2^i=2^i(2^{n-i}-1) となる。残りの因子はすべて奇数なので、v2(Ln)=0+1+⋯+(n−1)=n(n−1)/2v_2(L_n)=0+1+\cdots+(n-1)=n(n-1)/2 である。