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第4問

k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)⋯(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). を満たす正の整数の組 (k,n)(k,n) をすべて求めよ。
ステップ 4/6: 増大度により n が6以上の場合を排除する
前のステップ次のステップ
Ln<2n2,m=n(n−1)2,2n2<m! (n≥6)⟹ k!>m!>2n2>LnL_n<2^{n^2},\qquad m=\frac{n(n-1)}2,\qquad 2^{n^2}<m!\ (n\ge6)\Longrightarrow\ k!>m!>2^{n^2}>L_n
詳しい解説

LnL_n の各因子は 2n2^n より小さいので、Ln<2n2L_n<2^{n^2} である。m=n(n−1)/2m=n(n-1)/2 と置く。n=6n=6 では 2n2=236<15!=m!2^{n^2}=2^{36}<15!=m! である。ある n≥6n\ge6 で 2n2<m!2^{n^2}<m! が成り立つとする。n+1n+1 では階乗側に nn 個の因子が加わり、それぞれ m+1≥16m+1\ge16 以上一方、べき側は 22n+12^{2n+1} 倍にしかならないので、帰納法により不等式は保たれる。したがってすべての n≥6n\ge6 で 2n2<m!2^{n^2}<m! である。しかしステップ3から k>mk>m なので k!>m!k!>m! となり、k!=Ln<2n2<m!k!=L_n<2^{n^2}<m! に矛盾する。