第5問

Bath 銀行は片面が、もう片面がの硬貨を発行している。Harry はこの硬貨を枚、左から右へ一列に並べる。を示す硬貨がちょうど枚なら、左から枚目の硬貨を裏返す、という操作を繰り返す。それ以外、すなわち全てがのとき停止する。例えばでから始めるととなり、3 回の操作で停止する。(a) 初期配置ごとに Harry が有限回で停止することを示せ。(b) 初期配置に対し停止までの操作回数をとする。全ての個の初期配置にわたるの平均値を求めよ。

H

T

n

k>0

H

k

T

n=3

THT

THT\to HHT\to HTT\to TTT

C

L(C)

L(C)

2^n

ステップ 5/6: 二つの場合を平均する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

最後の硬貨がである確率は等しい。

E_n=\frac12E_{n-1}+\frac12(E_{n-1}+n)=E_{n-1}+\frac n2

詳しい解説

個の配置のちょうど半分はで終わり、半分はで終わる。前二場合により全配置の停止が示され、を得る。 $2^n$ $T$ $H$ $E_n=\frac12E_{n-1}+\frac12(E_{n-1}+n)=E_{n-1}+\frac n2$