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第6問

を満たす鋭角三角形 の内心を とする。 の内接円 は にそれぞれ で接する。 を通り に垂直な直線が 以外で と再び交わる点を とする。直線 が 以外で と再び交わる点を とする。三角形 と の外接円は 以外で再び で交わる。直線 と の交点が、 を通り に垂直な直線上にあることを証明せよ。 II ABCABC AB≠ACAB\ne AC ω\omega ABCABC BCBC CACA ABAB DD EE FF DD EFEF ω\omega RR DD ARAR ω\omega PP RR PCEPCE PBFPBF QQ PP DIDI PQPQ AA AIAI
ステップ 2/6: 内接円で反転する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

接点三角形によって反転後の配置が直線的になる。

A′=mid⁡(EF),B′=mid⁡(FD),C′=mid⁡(DE)A'=\operatorname{mid}(EF),\quad B'=\operatorname{mid}(FD),\quad C'=\operatorname{mid}(DE)
詳しい解説

中心 、半径を内接半径とする に関する反転を行う。 は接線なので、 の像は の中点 である。同様に の像はそれぞれ の中点 となる。 など 上の点は不動である。反転の標準的な帰着（または直接の角追い）により、元の主張は反転図形で の像 が円 上にあることと同値である。 ω\omega II AEAE AFAF AA A′A' EFEF B,CB,C B′B' FDFD C′C' DEDE ω\omega D,E,F,P,RD,E,F,P,R Q′Q' (PIT)(PIT)