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第6問

を満たす鋭角三角形 の内心を とする。 の内接円 は にそれぞれ で接する。 を通り に垂直な直線が 以外で と再び交わる点を とする。直線 が 以外で と再び交わる点を とする。三角形 と の外接円は 以外で再び で交わる。直線 と の交点が、 を通り に垂直な直線上にあることを証明せよ。 II ABCABC AB≠ACAB\ne AC ω\omega ABCABC BCBC CACA ABAB DD EE FF DD EFEF ω\omega RR DD ARAR ω\omega PP RR PCEPCE PBFPBF QQ PP DIDI PQPQ AA AIAI
ステップ 5/6: 二つの共円性を示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

等しい有向角により二点が同じ円上にある。

∠ITP=∠IMP=∠MIP,∠MQP=∠MIP\angle ITP=\angle IMP=\angle MIP,\qquad \angle MQP=\angle MIP
詳しい解説

平行四辺形と平行関係 、および における直角から を得る。従って は共円である。 が一直線上にあり、四辺形 が共円であることから角を追うと、。よって も共円である。 MI∥AGMI\parallel AG PP ∠ITP=∠IMP=∠MIP\angle ITP=\angle IMP=\angle MIP P,M,I,TP,M,I,T B,Q,CB,Q,C PCEPCE PBFPBF ∠MQP=∠CQP=∠CEP=∠DEP=∠DGP=∠GPI=∠MIP\angle MQP=\angle CQP=\angle CEP=\angle DEP=\angle DGP=\angle GPI=\angle MIP P,M,I,QP,M,I,Q