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第1問

凸四角形 ABCDABCD を考える。点 PP は ABCDABCD の内部にある。次の比の等式が成り立つ：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC。次の三直線が一点で交わることを証明せよ：角 ∠ADP\angle ADP と ∠PCB\angle PCB の内角の二等分線、および線分 ABAB の垂直二等分線。
ステップ 3/6: β\beta を用いて ∠BOP\angle BOP と ∠BCP\angle BCP を計算する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

円周角の定理により、頂点 AA における角 ∠BAP\angle BAP は点 OO における中心角に変わり、三角形 BPCBPC の角の和により、頂点 BB と PP における与えられた角は頂点 CC における角に変わる。

∠BOP=2∠BAP=4β,∠BCP=180∘−(∠CBP+∠BPC)=180∘−4β\angle BOP=2\angle BAP=4\beta,\qquad \angle BCP=180^\circ-(\angle CBP+\angle BPC)=180^\circ-4\beta
詳しい解説

三角形 APBAPB の外接円において、弦 BPBP に対する中心角 ∠BOP\angle BOP は円周角 ∠BAP=2β\angle BAP=2\beta の二倍に等しいので、∠BOP=4β\angle BOP=4\beta となる。三角形 BPCBPC において角の和より ∠BCP=180∘−∠CBP−∠BPC=180∘−β−3β=180∘−4β\angle BCP=180^\circ-\angle CBP-\angle BPC=180^\circ-\beta-3\beta=180^\circ-4\beta が得られる。