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第1問

凸四角形 ABCDABCD を考える。点 PP は ABCDABCD の内部にある。次の比の等式が成り立つ：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC。次の三直線が一点で交わることを証明せよ：角 ∠ADP\angle ADP と ∠PCB\angle PCB の内角の二等分線、および線分 ABAB の垂直二等分線。
ステップ 4/6: B,C,P,OB,C,P,O が共円であり COCO が ∠PCB\angle PCB を二等分することを導く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

対角の和が 180∘180^\circ になることはまさに円に内接する四角形の判定条件であり、等しい半径 OB=OPOB=OP はその円上のどの点から見ても等しい角を張る。

∠BOP+∠BCP=180∘  ⟹  B,C,P,O concyclic  ⟹  ∠BCO=∠OCP\angle BOP+\angle BCP=180^\circ\implies B,C,P,O\text{ concyclic}\implies \angle BCO=\angle OCP
詳しい解説

∠BOP+∠BCP=4β+(180∘−4β)=180∘\angle BOP+\angle BCP=4\beta+(180^\circ-4\beta)=180^\circ であるから、四角形 BCPOBCPO は円に内接する。OB=OPOB=OP はともに三角形 APBAPB の外接円の半径であるから、等しい弦 OB,OPOB,OP は円 BCPOBCPO 上の点 CC から見て等しい角を張り、∠BCO=∠OCP\angle BCO=\angle OCP となる。よって COCO は ∠PCB\angle PCB を二等分する。