MathLabs

第1問

凸四角形 ABCDABCD を考える。点 PP は ABCDABCD の内部にある。次の比の等式が成り立つ：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC。次の三直線が一点で交わることを証明せよ：角 ∠ADP\angle ADP と ∠PCB\angle PCB の内角の二等分線、および線分 ABAB の垂直二等分線。
ステップ 5/6: DD 側で同じ議論を繰り返す：DODO は ∠ADP\angle ADP を二等分する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

A↔BA\leftrightarrow B と D↔CD\leftrightarrow C の役割を入れ替え、β\beta を α\alpha に置き換えると、全く同じ計算が繰り返される。

∠AOP=2∠ABP=4α,∠ADP=180∘−(∠PAD+∠DPA)=180∘−4α  ⟹  A,D,P,O concyclic  ⟹  ∠ADO=∠ODP\angle AOP=2\angle ABP=4\alpha,\qquad \angle ADP=180^\circ-(\angle PAD+\angle DPA)=180^\circ-4\alpha\implies A,D,P,O\text{ concyclic}\implies \angle ADO=\angle ODP
詳しい解説

B,C,βB,C,\beta の代わりに A,D,αA,D,\alpha を用いて同じ議論を行うと、中心角 ∠AOP=2∠ABP=4α\angle AOP=2\angle ABP=4\alpha となり、三角形の角の和より ∠ADP=180∘−∠PAD−∠DPA=180∘−α−3α=180∘−4α\angle ADP=180^\circ-\angle PAD-\angle DPA=180^\circ-\alpha-3\alpha=180^\circ-4\alpha が得られる。両者の和は 180∘180^\circ であるから A,D,P,OA,D,P,O は共円であり、OA=OPOA=OP より ∠ADO=∠ODP\angle ADO=\angle ODP となるので、DODO は ∠ADP\angle ADP を二等分する。