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第2問

aa、bb、cc、dd を a≥b≥c≥d>0a \ge b \ge c \ge d > 0 かつ a+b+c+d=1a+b+c+d=1 を満たす実数とする。(a+2b+3c+4d) aabbccdd<1(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1 を証明せよ。
ステップ 1/5: 重み付き AM–GM で aabbccdda^ab^bc^cd^d を上から抑える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

a,b,c,da,b,c,d を重み付き AM–GM における重みと値の両方とみなすと、重み付きべき平均 aabbccdda^ab^bc^cd^d と通常の二次平均 a2+b2+c2+d2a^2+b^2+c^2+d^2 を、a+b+c+d=1a+b+c+d=1 であることを用いて直接比較できる。

a⋅a+b⋅b+c⋅c+d⋅da+b+c+d≥aabbccdda+b+c+d   ⟹   aabbccdd≤a2+b2+c2+d2\frac{a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c+d\cdot d}{a+b+c+d}\ge \sqrt[a+b+c+d]{a^ab^bc^cd^d}\ \implies\ a^ab^bc^cd^d\le a^2+b^2+c^2+d^2
詳しい解説

重み a,b,c,da,b,c,d（総和は 11）を用いた重み付き AM–GM を値 a,b,c,da,b,c,d 自身に適用すると、a⋅a+b⋅b+c⋅c+d⋅da+b+c+d≥aabbccdd\frac{a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c+d\cdot d}{a+b+c+d}\ge a^ab^bc^cd^d、すなわち aabbccdd≤a2+b2+c2+d2a^ab^bc^cd^d\le a^2+b^2+c^2+d^2 が得られる。