第2問

a

、

b

、

c

、

d

を

a \ge b \ge c \ge d > 0

かつ

a+b+c+d=1

を満たす実数とする。

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1

を証明せよ。

ステップ 2/5:

(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)

を上から抑える問題に帰着する

前のステップ次のステップ

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d\le (a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)

詳しい解説

ステップ1の不等式に正の量 $a+2b+3c+4d$ を掛けると、 $(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d\le (a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$ となるので、右辺が厳密に $1$ より小さいことを示せばよい。