第2問

a

、

b

、

c

、

d

を

a \ge b \ge c \ge d > 0

かつ

a+b+c+d=1

を満たす実数とする。

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1

を証明せよ。

ステップ 3/5: 順序

a\ge b\ge c\ge d

を用いて

a^2,b^2,c^2,d^2

の各項を別々に優越評価する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$a,b,c,d$ は減少列であるから、 $d$ （最小の変数）に付く係数 $4$ を、より大きい変数へ $3$ として移しても和は減少しない。これにより、 $a^2,b^2,c^2,d^2$ それぞれに対応する $a+2b+3c+4d$ の四つの別々の上界が得られる。

a^2(a+2b+3c+4d)\le a^2(a+3b+3c+3d),\ \ b^2(a+2b+3c+4d)\le b^2(3a+b+3c+3d),\ \ c^2(a+2b+3c+4d)\le c^2(3a+3b+c+3d),\ \ d^2(a+2b+3c+4d)\le d^2(3a+3b+3c+d)

詳しい解説

$d\le b$ より $a+2b+3c+4d\le a+3b+3c+3d$ 。 $b+d\le 2a$ （ $a\ge b$ と $a\ge d$ より）から $a+2b+3c+4d\le 3a+b+3c+3d$ 。 $2c+d\le 2a+b$ （ $a\ge c$ を二回と $b\ge d$ より）から $a+2b+3c+4d\le 3a+3b+c+3d$ 。 $2a+b\ge 3d$ （ $a\ge d$ を二回と $b\ge d$ より）から $a+2b+3c+4d\le 3a+3b+3c+d$ 。それぞれを対応する非負の $a^2,b^2,c^2,d^2$ に掛けると、上記の四つの不等式が得られる。