第2問

a

、

b

、

c

、

d

を

a \ge b \ge c \ge d > 0

かつ

a+b+c+d=1

を満たす実数とする。

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1

を証明せよ。

ステップ 4/5: 四つの上界を足し合わせて展開する

前のステップ次のステップ

(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)\le a^2(a+3b+3c+3d)+b^2(3a+b+3c+3d)+c^2(3a+3b+c+3d)+d^2(3a+3b+3c+d)

詳しい解説

ステップ3の四つの不等式を足し合わせ、左辺を $(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$ にまとめ直してから、両辺を $a,b,c,d$ の多項式として展開すると、右辺は $(a+b+c+d)^3$ から厳密に正の項 $6(abc+bcd+cda+dab)$ を引いたものに等しくなるので、 $(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2) < (a+b+c+d)^3$ が成り立つ。