第2問

a

、

b

、

c

、

d

を

a \ge b \ge c \ge d > 0

かつ

a+b+c+d=1

を満たす実数とする。

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1

を証明せよ。

ステップ 5/5:

a+b+c+d=1

を用いて不等式を結論づける

前のステップ次のステップ

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d\ \le\ (a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)\ <\ (a+b+c+d)^3=1

詳しい解説

ステップ2とステップ4を仮定 $a+b+c+d=1$ と組み合わせると $(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d\le(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<(a+b+c+d)^3=1$ が得られ、これはまさに求める不等式である。最初のステップでの等号は $a=b=c=d=\frac14$ を強制し、このときの連鎖は厳密な評価 $\frac58<1$ を与え、不等式が厳密であることを確認できる。