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第3問

4n4n 個の小石があり、重さはそれぞれ 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n である。各小石は nn 色のいずれか一色で塗られており、各色の小石はちょうど4個ずつある。石を二つの山に分けて、両方の山の総重量が等しく、かつそれぞれの山に各色の石がちょうど2個ずつ含まれるようにできることを示せ。
ステップ 3/6: オイラー閉路を使って辺を2色に塗る
ざっくり言うと

どこでも次数が偶数であることは、グラフの各部分が1つの閉じた歩道でたどれることを意味し、その歩道に沿って色を交互に付けるのが均等に分ける自然な方法である。

Colour the edges of each Eulerian circuit alternately blue, green, blue, green, …\text{Colour the edges of each Eulerian circuit alternately blue, green, blue, green, \dots}
詳しい解説

G の各連結成分はすべての次数が4、すなわち偶数であるから、その成分のすべての辺をちょうど1回ずつ使うオイラー閉路を持つ。m 個の頂点を持つ成分はその閉路に 2m 本、すなわち偶数本の辺を提供する。閉路の辺を通過する順に青、緑、青、緑、と塗っていく。長さが偶数なので、最後の辺と最初の辺は異なる色になり、交互の塗り分けは閉路全体で一貫する。